Pla docent de l'assignatura

 

 
Tanca imatge de maquetació

 

Imprimeix

 

Dades generals

 

Nom de l'assignatura: Aritmètica

Codi de l'assignatura: 360139

Curs acadèmic: 2018-2019

Coordinació: Maria Nuria Vila Oliva

Departament: Departament de Matemàtiques i Informàtica

crèdits: 6

Programa únic: S

 

 

Hores estimades de dedicació

Hores totals 150

 

Activitats presencials i/o no presencials

60
 

-  Teoria

Presencial

  

30
 

-  Pràctiques de problemes

Presencial

  

15
 

-  Pràctiques de laboratori

Presencial

  

15
 

(Amb ordinadors.)

Treball tutelat/dirigit

40

(Inclou els exàmens i la resolució dels problemes proposats pel professorat. )

Aprenentatge autònom

50

(Estudi dels contingus teòrics i pràctics de l’assignatura.)

 

 

Recomanacions

 


Requisits

360138 - Llenguatge i Raonament Matemàtic (Recomanada)

 

 

Objectius d'aprenentatge

 

Referits a coneixements

— Comprendre les propietats de la divisibilitat de nombres enters i de polinomis.

 

— Conèixer el teorema fonamental de l’aritmètica i les propietats bàsiques dels nombres primers.

 

— Conèixer algunes aplicacions de l’aritmètica modular a la vida quotidiana.

 

— Conèixer alguns criptosistemes de clau privada i de clau pública.

 

Referits a habilitats, destreses

— Saber calcular el màxim comú divisor de dos nombres enters o de dos polinomis mitjançant l’algoritme d’Euclides.

 

— Saber utilitzar l’aritmètica modular i saber resoldre equacions lineals modulars.

 

— Saber operar amb nombres complexos i saber resoldre equacions senzilles.

 

 

Blocs temàtics

 

1. Divisibilitat

1.1. Divisió entera

1.1.1. Divisió de nombres enters
1.1.2. Divisió entera de polinomis en una indeterminada i coeficients en un cos

1.2. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple

1.2.1. Màxim comú divisor de nombres enters
1.2.2. Màxim comú divisor de polinomis en una indeterminada i coeficients en un cos
1.2.3. Mínim comú múltiple

1.3. Algoritme d’Euclides

1.3.1. Algoritme d’Euclides per al càlcul del màxim comú divisor de dos nombres enters i per al càlcul del màxim comú divisor de dos polinomis en una indeterminada i coeficients en un cos
1.3.2. Identitat de Bézout

1.4. Teorema fonamental de l’aritmètica

1.4.1. Nombres primers
1.4.2. Teorema fonamental de l’aritmètica
1.4.3. Polinomis irreductibles
1.4.4. Descomposició d’un polinomi en producte de polinomis irreductibles

2. Congruències

2.1. Anells de classes de residus

2.1.1. Classes de residus mòdul d’un nombre enter
2.1.2. Operacions amb classes de residus
2.1.3. Classes invertibles

2.2. Congruències lineals

2.2.1. Congruències lineals amb una incògnita
2.2.2. Simplificació de congruències
2.2.3. Equacions diofantines lineals amb dues o més incògnites

2.3. Sistemes de congruències lineals

2.3.1. Sistemes de congruències lineals amb una incògnita
2.3.2. Teorema xinès del residu
2.3.3. Sistemes de congruències lineals amb més d’una incògnita
2.3.4. Sistemes d’equacions diofantines lineals

2.4. Propietats multiplicatives de les congruències

2.4.1. Grup de les classes invertibles
2.4.2. Petit teorema de Fermat
2.4.3. Teorema d’Euler
2.4.4. Símbols de Legendre i de Jacobi
2.4.5. Arrels primitives

3. Aritmètica dels nombres complexos

3.1. El cos dels nombres complexos

3.1.1. Nombres complexos
3.1.2. Operacions amb nombres complexos en forma binòmica
3.1.3. Conjugats i inversos

3.2. Arrels de la unitat

3.2.1. Forma polar d’un nombre complex
3.2.2. Arrels de la unitat
3.2.3. Arrels n-èsimes de nombres complexos

3.3. El teorema fonamental de l’àlgebra

3.3.1. Arrels de polinomis
3.3.2. Enunciat del teorema fonamental de l’àlgebra

4. Aplicacions

4.1. Tests de primeritat

4.1.1. Tests congruencials bàsics de primeritat
4.1.2. Test de Solovay-Strassen
4.1.3. Test de Miller-Rabin

4.2. Algoritmes de factorització

4.2.1. Algoritmes bàsics de factorització
4.2.2. Mètode de Fermat
4.2.3. Algoritme p-1 de Pollard
4.2.4. Certificats congruencials de primeritat
4.2.5. Construcció de nombres primers grans

4.3. Criptosistemes de clau privada

4.3.1. Criptografia elemental
4.3.2. Criptosistemes de Cèsar, lineals i afins
4.3.3. Criptosistema de Vigenère

4.4. Criptosistemes de clau pública

4.4.1. Criptografia de clau pública
4.4.2. Criptosistemes de tipus RSA
4.4.3. El problema del logaritme discret
4.4.4. Criptosistemes de tipus ElGamal
4.4.5. Construcció de claus

 

 

Metodologia i activitats formatives

 

La docència de l’assignatura s’articula en quatre hores de classe setmanals durant tot un semestre. Dues hores setmanals es destinen a continguts teòrics i problemes; una altra es destina a problemes, que els estudiants exposen a la pissarra o amb l’ajut d’un canó de projecció; la quarta hora, en què l’alumnat es distribueix en grups més petits, es destina a continguts pràctics en què s’utilitzen ordinadors. Aquesta quarta hora pot contenir pràctiques guiades o bé pot servir per resoldre problemes de càlcul explícit, de manera que en l’hora destinada a problemes es poden tractar problemes de contingut menys calculístic.

 

 

Avaluació acreditativa dels aprenentatges

 

Es fa un examen parcial a mig semestre, un examen final i un examen de reavaluació; una part ben especificada de l’examen final constitueix el segon examen parcial. L’examen final pot contenir algun exercici que s’ha de resoldre amb ordinador.

La qualificació de l’avaluació continuada s’obté a partir de la nota dels dos exàmens parcials, amb un valor del 35 % cada un, i de les notes dels problemes que els estudiants han anat lliurant, de les pràctiques d’ordinador que es lliuren al professorat perquè les avaluï, i de l’avaluació dels exercicis que els estudiants fan a la pissarra, amb un valor global del 30 %.

 

La qualificació final de l’alumnat és el màxim entre la nota de l’examen final i la nota de l’avaluació continuada.
 

 

 

Avaluació única

La qualificació de l’avaluació única s’obté, exclusivament, de la nota de l’examen final.

Reavaluació

Tots els estudiants de l’assignatura tenen dret a la reavaluació, sense haver de renunciar a la nota de la qualificació final. L’examen de reavaluació pot contenir algun exercici que s’ha de resoldre amb ordinador.