Dades generals |
Nom de l'assignatura: Aritmètica
Codi de l'assignatura: 360139
Curs acadèmic: 2018-2019
Coordinació: Maria Nuria Vila Oliva
Departament: Departament de Matemàtiques i Informàtica
crèdits: 6
Programa únic: S
Hores estimades de dedicació |
Hores totals 150 |
Activitats presencials |
60 |
- Teoria |
30 |
|||
- Pràctiques de problemes |
15 |
|||
- Pràctiques de laboratori (Amb ordinadors.) |
15 |
Treball tutelat/dirigit (Inclou els exàmens i la resolució dels problemes proposats pel professorat. ) |
40 |
Aprenentatge autònom (Estudi dels contingus teòrics i pràctics de l’assignatura.) |
50 |
Recomanacions |
Requisits 360138 - Llenguatge i Raonament Matemàtic (Recomanada) |
Objectius d'aprenentatge |
Referits a coneixements — Comprendre les propietats de la divisibilitat de nombres enters i de polinomis.
— Conèixer el teorema fonamental de l’aritmètica i les propietats bàsiques dels nombres primers.
— Conèixer algunes aplicacions de l’aritmètica modular a la vida quotidiana.
— Conèixer alguns criptosistemes de clau privada i de clau pública.
Referits a habilitats, destreses — Saber calcular el màxim comú divisor de dos nombres enters o de dos polinomis mitjançant l’algoritme d’Euclides.
— Saber utilitzar l’aritmètica modular i saber resoldre equacions lineals modulars.
— Saber operar amb nombres complexos i saber resoldre equacions senzilles. |
Blocs temàtics |
1. Divisibilitat
1.1. Divisió entera
1.1.1. Divisió de nombres enters
1.1.2. Divisió entera de polinomis en una indeterminada i coeficients en un cos
1.2. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple
1.2.1. Màxim comú divisor de nombres enters
1.2.2. Màxim comú divisor de polinomis en una indeterminada i coeficients en un cos
1.2.3. Mínim comú múltiple
1.3. Algoritme d’Euclides
1.3.1. Algoritme d’Euclides per al càlcul del màxim comú divisor de dos nombres enters i per al càlcul del màxim comú divisor de dos polinomis en una indeterminada i coeficients en un cos
1.3.2. Identitat de Bézout
1.4. Teorema fonamental de l’aritmètica
1.4.1. Nombres primers
1.4.2. Teorema fonamental de l’aritmètica
1.4.3. Polinomis irreductibles
1.4.4. Descomposició d’un polinomi en producte de polinomis irreductibles
2. Congruències
2.1. Anells de classes de residus
2.1.1. Classes de residus mòdul d’un nombre enter
2.1.2. Operacions amb classes de residus
2.1.3. Classes invertibles
2.2. Congruències lineals
2.2.1. Congruències lineals amb una incògnita
2.2.2. Simplificació de congruències
2.2.3. Equacions diofantines lineals amb dues o més incògnites
2.3. Sistemes de congruències lineals
2.3.1. Sistemes de congruències lineals amb una incògnita
2.3.2. Teorema xinès del residu
2.3.3. Sistemes de congruències lineals amb més d’una incògnita
2.3.4. Sistemes d’equacions diofantines lineals
2.4. Propietats multiplicatives de les congruències
2.4.1. Grup de les classes invertibles
2.4.2. Petit teorema de Fermat
2.4.3. Teorema d’Euler
2.4.4. Símbols de Legendre i de Jacobi
2.4.5. Arrels primitives
3. Aritmètica dels nombres complexos
3.1. El cos dels nombres complexos
3.1.1. Nombres complexos
3.1.2. Operacions amb nombres complexos en forma binòmica
3.1.3. Conjugats i inversos
3.2. Arrels de la unitat
3.2.1. Forma polar d’un nombre complex
3.2.2. Arrels de la unitat
3.2.3. Arrels n-èsimes de nombres complexos
3.3. El teorema fonamental de l’àlgebra
3.3.1. Arrels de polinomis
3.3.2. Enunciat del teorema fonamental de l’àlgebra
4. Aplicacions
4.1. Tests de primeritat
4.1.1. Tests congruencials bàsics de primeritat
4.1.2. Test de Solovay-Strassen
4.1.3. Test de Miller-Rabin
4.2. Algoritmes de factorització
4.2.1. Algoritmes bàsics de factorització
4.2.2. Mètode de Fermat
4.2.3. Algoritme p-1 de Pollard
4.2.4. Certificats congruencials de primeritat
4.2.5. Construcció de nombres primers grans
4.3. Criptosistemes de clau privada
4.3.1. Criptografia elemental
4.3.2. Criptosistemes de Cèsar, lineals i afins
4.3.3. Criptosistema de Vigenère
4.4. Criptosistemes de clau pública
4.4.1. Criptografia de clau pública
4.4.2. Criptosistemes de tipus RSA
4.4.3. El problema del logaritme discret
4.4.4. Criptosistemes de tipus ElGamal
4.4.5. Construcció de claus
Metodologia i activitats formatives |
La docència de l’assignatura s’articula en quatre hores de classe setmanals durant tot un semestre. Dues hores setmanals es destinen a continguts teòrics i problemes; una altra es destina a problemes, que els estudiants exposen a la pissarra o amb l’ajut d’un canó de projecció; la quarta hora, en què l’alumnat es distribueix en grups més petits, es destina a continguts pràctics en què s’utilitzen ordinadors. Aquesta quarta hora pot contenir pràctiques guiades o bé pot servir per resoldre problemes de càlcul explícit, de manera que en l’hora destinada a problemes es poden tractar problemes de contingut menys calculístic. |
Avaluació acreditativa dels aprenentatges |
Es fa un examen parcial a mig semestre, un examen final i un examen de reavaluació; una part ben especificada de l’examen final constitueix el segon examen parcial. L’examen final pot contenir algun exercici que s’ha de resoldre amb ordinador.
Avaluació única La qualificació de l’avaluació única s’obté, exclusivament, de la nota de l’examen final. |
Fonts d'informació bàsica |
Consulteu la disponibilitat a CERCABIB
Llibre
Queysanne, M. Álgebra básica. Barcelona : Vicens-Vives, 1990.
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Reading (Mass.) : Addison-Wesley, 2010.
Stein, W. Elementary number theory: primes, congruences and secrets. New York : Springer, 2009.
Travesa, A. Aritmètica. Barcelona : Edicions Universitat de Barcelona, 1998.