Pla docent de l'assignatura

 

 

Tanca imatge de maquetació

 

Imprimeix

 

Dades generals

 

Nom de l'assignatura: Llenguatge i Raonament Matemàtic

Codi de l'assignatura: 360138

Curs acadèmic: 2021-2022

Coordinació: Enrique Casanovas Ruiz Fornells

Departament: Departament de Matemàtiques i Informàtica

crèdits: 6

Programa únic: S

 

 

Hores estimades de dedicació

Hores totals 150

 

Activitats presencials i/o no presencials

60

 

-  Teoria

Presencial i no presencial

 

30

 

(Cada setmana assistirà presencialment la meitat del grup i la classe es retransmetrà en línia.)

 

-  Pràctiques de problemes

Presencial

 

15

 

(La meitat del grup tindrà dues hores una setmana i l’altra meitat les tindrà la setmana següent.)

 

-  Pràctiques de laboratori

Presencial

 

15

 

(El grup es dividirà en quatre subgrups. Cada subgrup tindrà dues hores una setmana i cap a la següent.)

Treball tutelat/dirigit

30

Aprenentatge autònom

60

 

 

Competències que es desenvolupen

 

   -

Utilitzar recursos bibliogràfics físics i virtuals.

   -

Capacitat per treballar en equip.

   -

Tenir i comprendre els coneixements bàsics de la matemàtica.

   -

Saber desenvolupar arguments rigorosos, i identificar-ne les hipòtesis i les conclusions.

   -

Entendre i utilitzar correctament el llenguatge matemàtic.

   -

Saber identificar errors en raonaments incorrectes.

   -

Assimilar conceptes matemàtics nous en termes d'altres ja coneguts.

   -

En la mesura que sigui possible s’incorporarà la perspectiva de gènere en el desenvolupament de l’assignatura.

 

 

Objectius d'aprenentatge

 

Referits a coneixements

Algunes de les dificultats amb què es troba l’alumnat en el procés de transició del batxillerat a l’ensenyament universitari de les matemàtiques es deuen al rigor en l’exposició de les matemàtiques en aquest nivell, tant en el llenguatge amb què estan formulades com en la manera en què es raona. Aquesta assignatura, adreçada als estudiants del primer semestre curricular del grau de Matemàtiques, ajuda a resoldre aquestes dificultats. Un objectiu important d’aquesta assignatura és aconseguir que els alumnes s’expressin bé, tant pel que fa al llenguatge matemàtic com a la manera de raonar. Aquest objectiu no s’assolirà completament en aquesta assignatura, s’anirà completant durant els diferents semestres del grau.

El primer objectiu de l’assignatura es resoldre les dificultats determinades per la manera en què es fan els raonaments matemàtics. En aquesta línia, s’estudien les formes bàsiques de raonament en les matemàtiques. Concretament, es tracten diferents formes de demostració directa i indirecta, i la inducció matemàtica. Es pretén que l’alumnat conegui les formes de raonament en les matemàtiques (així millora la comprensió de les classes) i que les faci servir (això l’ajuda a l’hora de resoldre problemes i a l’hora de fer els exàmens).  En la primera part s’introdueixen les nocions bàsiques de lògica com són les connectives proposicionals i els quantificadors, i s’estudien les equivalències lògiques i el seu ús en els raonaments matemàtics.

El segon objectiu és conèixer els aspectes bàsics del llenguatge de les matemàtiques que, des de començament del segle XX, és el conjuntista. Per això s’introdueixen les nocions de pertinença, inclusió i igualtat, les operacions bàsiques entre conjunts i la seva àlgebra de Boole. S’aprofundeix en el llenguatge conjuntista mitjançant l’estudi dels conceptes de conjunt potència, producte cartesiàfunció, relació d’ordre, relació d’equivalència, conjunt quocient, cardinalitat i numerabilitat. Aquestes eines conjuntistes són omnipresents en les matemàtiques.

Finalment, exemplifiquem l’ús d’aquestes eines conjuntistes quan les fem servir per caracteritzar els nombres naturals, per obtenir els nombres enters i les seves operacions aritmètiques a partir dels nombres naturals i per obtenir els nombres racionals i les seves operacions a partir dels enters.

 

 

Blocs temàtics

 

1. Formes de raonament en les matemàtiques

1.1. Anàlisi dels enunciats matemàtics. Lògica: les connectives lògiques i els quantificadors. Les equivalències lògiques i el seu ús en els raonaments matemàtics

1.2. Regles bàsiques per fer demostracions en matemàtiques (el contrarecíproc, la reducció a l’absurd, el raonament per casos, etc.). Condicions necessàries, condicions suficients, condicions necessàries i suficients. Enunciats universals i enunciats existencials en les demostracions.

1.3. La inducció matemàtica (ordinària i completa). Exemples aritmètics i exemples combinatoris.

2. Llenguatge conjuntista i els conjunts

2.1. Els elements bàsics del llenguatge conjuntista: pertinença, inclusió i igualtat. Extensionalitat.  Operacions amb conjunts: unió, intersecció diferència i complementari. Lleis conjuntistes. Àlgebres de Boole.

2.2. El conjunt potència. Parells ordenats i el producte cartesià de conjunts. Relacions binàries i les seves propietats.

2.3. Funcions i aplicacions. Domini i recorregut. Conjunt imatge, conjunt antiimatge. Composició. Funcions injectives i funcions exhaustives. Bijeccions. Funció inversa. Cardinalitat. Conjunts finits, conjunts numerables i conjunts no numerables.

2.4. Relacions d’ordre. Ordres parcials i ordres totals. El lema de Zorn.  Relacions d’equivalència, particions i conjunts quocient.

3. Els conjunts i els nombres

3.1. Els nombres naturals. Axiomàtica de Dedekind-Peano i propietats bàsiques dels nombres naturals

3.2. La construcció conjuntista dels nombres enters a partir dels nombres naturals. Propietats bàsiques dels nombres enters

3.3. La construcció conjuntista dels nombres racionals a partir dels nombres enters. Propietats bàsiques dels nombres racionals

 

 

Metodologia i activitats formatives

 

La distribució teòrica de l’horari setmanal es fa de la manera següent: dues hores de classe de teoria, un hora de problemes i una hora de laboratori de problemes.

En el model esperat de docència mixta les classes teòriques seran presencials per l’aforament permès per la situació sanitària i es retransmetran de manera síncrona. La previsió és que la meitat de cada grup assisteixi a les dues classes de teoria d’una setmana i rebi classe en línia la següent.

A la classe de problemes el professor explicarà la resolució de problemes de cada un dels tipus més importants. És una classe presencial d’una hora setmanal, però a causa de la situació sanitària, la meitat de la classe tindrà dues hores una setmana i cap la següent.

El laboratori de problemes és una classe presencial d’una hora setmanal a la qual assisteix una quarta part del grup. A causa de la situació sanitària, cada alumne tindrà dues classes una setmana i cap la següent. Al laboratori de problemes els alumnes han de solucionar els problemes que se’ls han proposat, treballant en grups petits i amb ajuda del professor.

Al llarg del curs es lliurarà al Campus Virtual material divers amb les definicions i resultats principals del curs, així com informació per ajudar en l’ús de la bibliografia.

 

 

Avaluació acreditativa dels aprenentatges

 

L’assignatura té dos exàmens: un parcial i un final (el parcial a mig semestre i el final un cop acabades les classes). El treball al laboratori de problemes s’avalua amb diferents mecanismes a concretar, com ara proves curtes, entrega de problemes, etc. Un cop fet l’examen final, la nota de curs de l’assignatura es calcula de la forma següent:

— la nota de l’examen final, si aquesta és < 4, o bé,

— si la nota de l’examen final és més gran o igual que 4, la nota és la màxima entre les dues següents:

        — nota de l’examen final,

        — (nota laboratori) x 0,25 + (nota primer parcial) x 0,35 + (nota examen final) x 0,4.

Qui vulgui es pot presentar a l’examen de reavaluació de tota l’assignatura. En aquest cas, la nota definitiva de l’assignatura és la nota de reavaluació si aquesta és superior a la nota de curs, i és la mitjana entre la nota de curs i la nota de reavaluació en cas contrari.

 

 

Avaluació única


L’alumnat que s’acull a l’avaluació única farà l’examen final de l’assignatura. Per acollir-s’hi cal demanar-ho a la Secretaria de la Facultat dins del termini reglamentari. Aquest examen dona la nota de curs de l’assignatura.

Qui vulgui es pot presentar a l’examen de reavaluació de tota l’assignatura. En aquest cas, la nota definitiva de l’assignatura és la nota de reavaluació si aquesta és superior a la nota de curs, i és la mitjana entre la nota de curs i la nota de reavaluació en cas contrari.