Pla docent de l'assignatura

 

 

Tanca imatge de maquetació

 

Imprimeix

 

Dades generals

 

Nom de l'assignatura: Aritmètica

Codi de l'assignatura: 360139

Curs acadèmic: 2021-2022

Coordinació: Xavier Guitart Morales

Departament: Departament de Matemàtiques i Informàtica

crèdits: 6

Programa únic: S

 

 

Hores estimades de dedicació

Hores totals 150

 

Activitats presencials i/o no presencials

60

 

-  Teoria

Presencial

 

30

 

(Presencial i no presencial)

 

-  Pràctiques de problemes

Presencial

 

15

 

(Presencial i no presencial)

 

-  Pràctiques de laboratori

Presencial

 

15

 

(Presencial i no presencial)

Treball tutelat/dirigit

40

(Inclou la realització de pràctiques amb software matemàtic.)

Aprenentatge autònom

50

(Estudi dels continguts teòrics i pràctics de l’assignatura.)

 

 

Recomanacions

 


Requisits

360138 - Llenguatge i Raonament Matemàtic (Recomanada)

 

 

Objectius d'aprenentatge

 

Referits a coneixements

— Comprendre les propietats de la divisibilitat de nombres enters i de polinomis.

 

— Conèixer el teorema fonamental de l’aritmètica i les propietats bàsiques dels nombres primers.

 

— Conèixer algunes aplicacions de l’aritmètica modular a la vida quotidiana.

 

— Conèixer alguns criptosistemes de clau privada i de clau pública.

 

Referits a habilitats, destreses

— Saber calcular el màxim comú divisor de dos nombres enters o de dos polinomis mitjançant l’algoritme d’Euclides.

 

— Saber utilitzar l’aritmètica modular i saber resoldre equacions lineals modulars.

 

— Saber operar amb nombres complexos i saber resoldre equacions senzilles.

 

 

Blocs temàtics

 

1. Divisibilitat

1.1. Divisió entera

1.1.1. Divisió de nombres enters
1.1.2. Divisió entera de polinomis en una indeterminada i coeficients en un cos

1.2. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple

1.1.2. Màxim comú divisor de nombres enters
1.2.2. Màxim comú divisor de polinomis en una indeterminada i coeficients en un cos
1.2.3. Mínim comú múltiple

1.3. Algoritme d’Euclides

1.3.1. Algoritme d’Euclides per al càlcul del màxim comú divisor de dos nombres enters i per al càlcul del màxim comú divisor de dos polinomis en una indeterminada i coeficients en un cos
1.3.2. Identitat de Bézout

1.4. Teorema fonamental de l’aritmètica

1.4.1. Nombres primers
1.4.2. Teorema fonamental de l’aritmètica
1.4.3. Polinomis irreductibles
1.4.4. Descomposició d’un polinomi en producte de polinomis irreductibles

2. Congruències

2.1. Anells de classes de residus

2.1.1. Classes de residus mòdul d’un nombre enter
2.1.2. Operacions amb classes de residus
2.1.3. Classes invertibles

2.2. Congruències lineals

2.2.1. Congruències lineals amb una incògnita
2.2.2. Simplificació de congruències
2.2.3. Equacions diofantines lineals amb dues o més incògnites

2.3. Sistemes de congruències lineals

2.3.1. Sistemes de congruències lineals amb una incògnita
2.3.2. Teorema xinès del residu
2.3.3. Sistemes de congruències lineals amb més d’una incògnita
2.3.4. Sistemes d’equacions diofantines lineals

2.4. Propietats multiplicatives de les congruències

2.4.1. Grup de les classes invertibles
2.4.2. Petit teorema de Fermat
2.4.3. Teorema d’Euler
2.4.4. Símbols de Legendre i de Jacobi
2.4.5. Arrels primitives

2.5. El teorema de Sophie Germain

3. Aritmètica dels nombres complexos

3.1. El cos dels nombres complexos

3.1.1. Nombres complexos
3.1.2. Operacions amb nombres complexos en forma binòmica
3.1.3. Conjugats i inversos

3.2. Arrels de la unitat

3.2.1. Forma polar d’un nombre complex
3.2.2. Arrels de la unitat
3.2.3. Arrels n-èsimes de nombres complexos

3.3. El teorema fonamental de l’àlgebra

3.3.1. Arrels de polinomis
3.3.2. Enunciat del teorema fonamental de l’àlgebra

4. Aplicacions

4.1. Tests de primeritat

4.1.1. Tests congruencials bàsics de primeritat
4.1.2. Test de Solovay-Strassen
4.1.3. Test de Miller-Rabin

4.2. Algoritmes de factorització

4.2.1. Algoritmes bàsics de factorització
4.2.2. Mètode de Fermat
4.2.3. Algoritme p-1 de Pollard
4.2.4. Certificats congruencials de primeritat
4.2.5. Construcció de nombres primers grans

4.3. Criptosistemes de clau privada

4.3.1. Criptografia elemental
4.3.2. Criptosistemes de Cèsar, lineals i afins
4.3.3. Criptosistema de Vigenère

4.4. Criptosistemes de clau pública

4.4.1. Criptografia de clau pública
4.4.2. Criptosistemes de tipus RSA
4.4.3. El problema del logaritme discret
4.4.4. Criptosistemes de tipus ElGamal
4.4.5. Construcció de claus

 

 

Metodologia i activitats formatives

 

La distribució de l’horari setmanal es farà de la manera següent: dues hores de classe de teoria, una de problemes i una de laboratori de problemes. En cas de docència mixta amb ocupació del 50 %, cada alumne alternarà una setmana de docència presencial a l’aula amb una setmana en què seguirà les classes de manera virtual per "streaming". 

En cas de docència presencial els rangs horaris es mantenen, però totes les classes es fan en modalitat presencial. Pot variar el repartiment de l’alumnat en grups.

En cas de docència virtual obligada per la situació sanitària els rangs horaris es mantenen, però la docència es durà a terme totalment en format no presencial. Pot variar el repartiment de l’alumnat en grups. 

 

 

Avaluació acreditativa dels aprenentatges

 

Es fa un examen parcial a mig semestre, un examen final i un examen de reavaluació. L’examen final pot contenir algun exercici que s’ha de resoldre amb ordinador.

La qualificació de l’avaluació continuada s’obté a partir de la nota de l’examen parcial —amb un valor del 25 %—, de les notes dels laboratoris de problemes i pràctiques d’ordinador —amb un valor del 20 %—, i de la nota de l’examen final —amb un valor del 55 %.

La qualificació final de l’alumnat és el màxim entre la nota de l’examen final i la nota de l’avaluació continuada.

Depenent de la situació sanitària, l’examen parcial, l’examen final i les altres activitats d’avaluació es faran en modalitat presencial o no presencial. Si cal fer l’avaluació telemàticament, es podrà complementar amb una entrevista.

 

Avaluació única

La qualificació de l’avaluació única s’obté, exclusivament, de la nota de l’examen final.

Reavaluació

Tots els estudiants de l’assignatura tenen dret a la reavaluació, sense haver de renunciar a la nota de la qualificació final. L’examen de reavaluació pot contenir algun exercici que s’ha de resoldre amb ordinador. Depenent de la situació sanitària, l’examen de reavaluació es farà en modalitat presencial o no presencial. Si cal fer l’avaluació telemàticament, es podrà complementar amb una entrevista.