Pla docent de l'assignatura

 

 

Tanca imatge de maquetació

 

Imprimeix

 

Dades generals

 

Nom de l'assignatura: Topologia i Geometria Global de Superfícies

Codi de l'assignatura: 360157

Curs acadèmic: 2021-2022

Coordinació: Vicente Navarro Aznar

Departament: Departament de Matemàtiques i Informàtica

crèdits: 6

Programa únic: S

 

 

Hores estimades de dedicació

Hores totals 150

 

Activitats presencials i/o no presencials

60

 

-  Teoria

Presencial

 

30

 

(Depenent de la situació sanitària, les classes es podran fer no presencials.)

 

-  Pràctiques de problemes

Presencial

 

30

 

(Depenent de la situació sanitària, les classes es podran fer no presencials.)

Treball tutelat/dirigit

40

Aprenentatge autònom

50

 

 

Competències que es desenvolupen

 

   -

Tenir i comprendre els coneixements bàsics de la matemàtica.

   -

Tenir i comprendre conceptes avançats en alguna branca de la matemàtica.

   -

Capacitat per transmetre informació, idees, problemes i solucions matemàtiques a un públic tant especialitzat com no especialitzat.

   -

Utilitzar recursos bibliogràfics físics i virtuals.

   -

Saber enunciar proposicions i construir demostracions de manera rigorosa.

   -

Conèixer demostracions de teoremes clàssics de diferents àrees de la matemàtica.

   -

Assimilar conceptes matemàtics nous en termes d'altres ja coneguts.

   -

Conèixer algunes de les aplicacions de la matemàtica a altres branques de la ciència i la tecnologia.

   -

Destresa en el modelatge teòric: ser capaç de captar l'essència d'un procés i de fer les aproximacions requerides per reduir el problema fins a un nivell manejable.

   -

Destreses matemàtiques: comprendre i dominar el formalisme, i usar els mètodes matemàtics més utilitzats en física.

   -

Saber desenvolupar arguments rigorosos, i identificar-ne les hipòtesis i les conclusions.

   -

Entendre i utilitzar correctament el llenguatge matemàtic.

   -

Saber identificar errors en raonaments incorrectes.

   -

Saber seleccionar i aplicar el procés matemàtic adequat per a cada problema.

Objectius d'aprenentatge

 

Referits a coneixements

— Entendre els conceptes d’homotopia d’aplicacions i d’equivalència homotòpica d’espais.
— Conèixer la definició de grup fonamental d’un espai topològic amb un punt base.
— Utilitzar el grup fonamental per demostrar resultats sobre la topologia del pla.
— Demostrar que tot polinomi de grau no nul té almenys una arrel complexa.
— Demostrar que tota aplicació contínua en un disc tancat té algun punt fix.
— Conèixer la classificació de les superfícies topològiques compactes.
— Entendre el concepte d’estructura diferenciable en una varietat topològica.
— Saber definir els espais tangents a les varietats diferenciables i les aplicacions lineals tangents.
— Saber utilitzar les eines bàsiques de la geometria de Riemann en dimensió dos.
— Relacionar la curvatura de Gauss amb la característica d’Euler de superfícies compactes.

 

Referits a habilitats, destreses

— Reconèixer retractes i retractes de deformació.
— Calcular l’índex d’un camí tancat al pla respecte d’un punt.
— Determinar l’existència de zeros de funcions al pla.
— Decidir si una superfície és orientable o no ho és.
— Calcular la característica d’Euler d’un políedre.
— Representar les superfícies compactes com polígons amb identificacions a la vora.
— Descriure el grup fonamental de qualsevol superfície compacta.
— Classificar topològicament les superfícies compactes.
— Calcular matrius d’aplicacions lineals tangents en coordenades locals.
— Trobar bases de vectors tangents en una superfície diferenciable donada en forma paramètrica.
— Calcular els símbols de Christoffel de la connexió riemanniana en una superfície amb una mètrica.
— Reconèixer geodèsiques en una superfície amb una mètrica.
— Calcular longituds de corbes i àrees de polígons en una superfície amb una mètrica.
— Calcular la curvatura de Gauss d’una superfície amb una mètrica.
— Trobar isometries entre diferents models del pla hiperbòlic.

 

 

Blocs temàtics

 

1. Homotopia

1.1. Homotopia d’aplicacions

1.2. Grup fonamental

1.3. Aplicacions a la topologia del pla

2. Superfícies topològiques

2.1. Definició i exemples

2.2. Classificació de les superfícies topològiques compactes

2.3. Característica d’Euler

3. Geometria de Riemann en superfícies

3.1. Estructures diferenciables en superfícies

3.2. Mètriques de Riemann. Geodèsiques. Curvatura

3.3. Mètriques de curvatura constant

3.4. Teorema de Gauss-Bonnet

 

 

Metodologia i activitats formatives

 

L’assignatura es distribueix de la següent manera:

Teoria: dues hores a la setmana presencials destinades a l’exposició dels continguts teòrics de l’assignatura.

Problemes: dues hores a la setmana presencial destinada a la resolució de problemes i, eventualment, a la realització d’activitats complementàries (exposicions per part de l’alumnat, treball en grup, discussions teoricopràctiques).

Depenent de la situació sanitària, i quan les autoritats corresponents ho requereixin, el grau de presencialitat es pot veure afectat. En aquest cas, la presencialitat serà per grups en setmanes alternes. 

Mitjançant el Campus Virtual, l’alumnat podrà accedir al material d’estudi i de suport, tant teòric com pràctic.

 

 

Avaluació acreditativa dels aprenentatges

 

Consisteix en el següent:

— Valoració de la feina feta per l’alumnat, principalment a les classes de problemes i als laboratoris de problemes (exposicions orals, lliurament d’exercicis escrits o proves): entre un 10 % i un 20 % de la nota.
— Examen parcial: entre un 30 % i un 40 % de la nota.
— Examen final: entre un 40 % i un 60 % de la nota.

Depenent de la situació sanitària, les activitats avaluables poden ser proves presencials, proves no presencials síncrones o lliurament de treballs.

 

Avaluació única

Consisteix en un examen final que equival al 100 % de la nota.

No cal renunciar a l’avaluació continuada per acollir-se a l’avaluació única ni sol·licitar acollir-s’hi. En tots aquells casos en què es disposi d’una nota d’avaluació continuada i també d’una nota d’avaluació única, la nota final és el màxim d’aquestes dues notes.

La reavaluació consisteix en un examen sobre tots els continguts de l’assignatura. Els requisits per presentar-se a l’examen de reavaluació els especifica el professorat oportunament.

La qualificació definitiva serà de no presentat per a l’alumnat que no hagi fet l’examen final ni l’examen de reavaluació.

Depenent de la situació sanitària, l’examen de reavaluació es farà en modalitat presencial o no presencial.