Pla docent de l'assignatura

 

 

Tanca imatge de maquetació

 

Imprimeix

 

Dades generals

 

Nom de l'assignatura: Anàlisi Complexa

Codi de l'assignatura: 360159

Curs acadèmic: 2021-2022

Coordinació: Nuria Fagella Rabionet

Departament: Departament de Matemàtiques i Informàtica

crèdits: 6

Programa únic: S

 

 

Hores estimades de dedicació

Hores totals 150

 

Activitats presencials i/o no presencials

60

 

-  Teoria

Presencial i no presencial

 

30

 

-  Pràctiques de problemes

Presencial i no presencial

 

15

 

-  Pràctiques de laboratori

Presencial i no presencial

 

15

 

(Laboratoris de problemes.)

Treball tutelat/dirigit

25

Aprenentatge autònom

65

 

 

Competències que es desenvolupen

 

   -

Utilitzar recursos bibliogràfics físics i virtuals.

   -

Tenir i comprendre els coneixements bàsics de la matemàtica.

   -

Saber desenvolupar arguments rigorosos, i identificar-ne les hipòtesis i les conclusions.

   -

Entendre i utilitzar correctament el llenguatge matemàtic.

   -

Saber enunciar proposicions i construir demostracions de manera rigorosa.

   -

Assimilar conceptes matemàtics nous en termes d'altres ja coneguts.

   -

En la mesura que sigui possible s’incorporarà la perspectiva de gènere en el desenvolupament de l’assignatura.

 

 

Objectius d'aprenentatge

 

Referits a coneixements

— Conèixer les propietats bàsiques dels nombres complexos.

 

— Comprendre el concepte de funció holomorfa i la seva relació amb les funcions diferenciables de R ^ 2 (equacions de Cauchy-Riemann).

 

— Conèixer l’expressió en sèrie de potència d’algunes funcions elementals.

 

— Conèixer el teorema de Cauchy i les seves implicacions: estimacions de Cauchy, principi del mòdul màxim, teorema de l’aplicació oberta, etc.

 

— Conèixer els tipus de singularitats de funcions holomorfes, així com les seves caracteritzacions.

 

— Conèixer el teorema dels residus i alguna de les seves aplicacions.

 

Referits a habilitats, destreses

— Saber resoldre algunes equacions que involucrin funcions de variable complexa.

 

— Saber analitzar i sumar sèries de potències concretes, i calcular-ne a partir de la seva suma.

 

— Calcular integrals reals utilitzant el teorema dels residus.

 

— Identificar les singularitats dels diferents tipus i calcular el desenvolupament en sèrie de Laurent al seu voltant.

 

 

Blocs temàtics

 

1. El cos dels nombres complexos

1.1. Representacions dels nombres complexos i propietats

1.2. Fórmula de De Moivre i arrels enèsimes

1.3. Successions, límits, funcions, continuïtat

2. Funcions holomorfes

2.1. Derivabilitat de funcions de variable complexa. Equacions de Cauchy-Riemann

2.2. Sèries de potències: convergència i derivació

2.3. Funcions elementals: exponencial, logaritme i trigonomètriques. Determinacions

3. Integració complexa

3.1. La integral de línia i el teorema fonamental del càlcul

3.2. Teorema de Cauchy i fórmula integral de Cauchy

3.3. Desenvolupament d’una funció holomorfa en sèrie de potències

3.4. Fórmula integral de Cauchy per derivades i teorema de Morera

3.5. Desigualtats de Cauchy i teorema de Liouville

3.7. Teorema de l’aplicació oberta i principi del mòdul màxim

3.8. Zeros d’una funció holomorfa i principi de prolongació analítica

4. Forma general del teorema de Cauchy

4.1. Cadenes i cicles. Homologia i homotopia

4.2. Teorema de Cauchy: versió homològica i homotòpica

4.3. Dominis simplement connexos. Existència de primitives i de determinacions

5. Teoria de residus

5.1. Sèries de Laurent

5.2. Singularitats aïllades: definició i caracteritzacions

5.3. Teorema dels residus i aplicació al càlcul d’integrals

5.5. Principi de l’argument i teorema de Rouché

 

 

Metodologia i activitats formatives

 

La distribució de l’horari setmanal consisteix en tres hores de classe teoricopràctica i una hora de problemes i/o laboratori de problemes. Les tres primeres podran ser presencials i/o no presencials.

A les classes teoricopràctiques es donen les definicions i els resultats principals del curs, que s’il·lustren amb exemples i problemes resolts. Es lliurarà material divers, que s’anirà ampliant durant el curs.

A la classe de problemes o laboratori (presencial) es discutirà breument el material teòric i es resoldran problemes i dubtes.

 

 

Avaluació acreditativa dels aprenentatges

 

L’avaluació continuada consistirà en les activitats següents:
• una o diverses proves curtes o entrega d’exercicis (L) que s’aniran fent al llarg del curs.
• un examen parcial (P), que en cas de no presencialitat pot ser substituït per altres proves curtes.
• un examen final (F) on s’avalua tot el temari del curs.

¿La nota final s’obtindrà de la manera següent:
NF = max(0,2*P + 0,6*F + 0,2*L, 0,8*F+0,2*L).

Si cal fer l’avaluació telemàticament aquesta, es podrà complementar amb una entrevista.

En acabar el període d’avaluació hi ha la possibilitat d’una reavaluació (R), que consisteix en un únic examen de tota l’assignatura. Poden presentar-se a l’examen de reavaluació els alumnes amb Nota final NF igual o superior a 2,5 punts, que han de renunciar a la nota obtinguda anteriorment. En cas de presentar-se a l’examen, la nota definitiva serà ND = R.

Si cal fer l’avaluació telemàticament, es podrà complementar amb una entrevista.

Cal obtenir una nota de 3,5 punts o superior en l’examen final per poder optar a superar l’assignatura sense necessitat de reavaluació.

 

Avaluació única

En l’avaluació única la nota s’obté de les notes de la prova final (F), és a dir, NF = F.

Si cal fer l’avaluació telemàticament, aquesta es podrà complementar amb una entrevista.

En acabar el període d’avaluació hi ha la possibilitat d’una reavaluació (R) que consisteix en un únic examen de tota l’assignatura. Poden presentar-se a l’examen de reavaluació els alumnes amb Nota final NF igual o superior a 2,5 punts, que han de renunciar a la nota obtinguda anteriorment. En cas de presentar-se a l’examen, la nota definitiva serà ND = R.

Si cal fer l’avaluació telemàticament, es podrà complementar amb una entrevista.